☛ Utiliser le corollaire du TVI

Énoncé

On considère la fonction \(f\)  définie sur \([0\ ; +\infty[\)  par \(f(x)=(5x-1)\text{e}^{-x}\) .
1. Déterminer la limite de \(f\)  en \(+\infty\) .
2. Étudier les variations de \(f\)  sur \([0\ ;+\infty[\)  et dresser le tableau complet de variations de \(f\)  sur \([0\ ;+\infty[\)  .
3. Déterminer le nombre de  solutions sur `[0\ ;+\infty[`  de l'équation \(f(x)=1\) .

Solution

1. Pour tout réel \(x\geqslant 0\) ,  \(f(x)=\displaystyle\frac{5x-1}{\text{e}^x}\) .
\(f(x)=5 \times \displaystyle\frac{x}{\text{e}^x}-\displaystyle\frac{1}{\text{e}^x}\) .

\(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x}=+\infty\)  par croissances comparées, donc par inverse et produit,  \(\lim\limits_{x \to +\infty}5 \times \displaystyle\frac{x}{\text{e}^x}=0\) .
\(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{\text{e}^x}=0\) .
Par somme \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0\) .

2. \(f\)  est dérivable sur `[0\ ; \+\infty[`  et, pour tout réel \(x \geqslant 0\) ,
\(f'(x)=5 \times \text{e}^{-x}+(5x-1) \times (-\text{e}^{-x})\)
\(f'(x)=(5-5x+1)\text{e}^{-x}\)
\(f'(x)=(-5x+6)\text{e}^{-x}\)
Pour tout réel \(x\geqslant 0,\ \text{e}^{-x}>0\)  donc \(f'(x)\)  est du signe de \(-5x+6\) .
\(-5x+6=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{6}{5}\) .
On obtient alors le tableau de signes de \(f'(x)\)  et de variatio ns  de \(f\)  suivant.

3. On étudie le nombre de solutions sur chaque intervalle où la fonction est strictement monotone.

• Sur   \(\left[0~;~\dfrac{6}{5}\right]\) , \(f\)  est continue et strictement croissante.
  \(f(0)=-1\)  et \(f\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right)=5\text{e}^{-\frac{6}{5}}\) .
  \(f\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right) \approx 1{,}51\)  donc \(1 \in \left [f(0)\ ;\ f\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right)\right]\) .
  D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=1\)  admet une unique solution sur  \(\left[0~;~\dfrac{6}{5}\right]\) .
  
• Sur   \(\left[\dfrac{6}{5}\ ;+\infty\right[\) , \(f\)  est continue et strictement décroissante.
  \(\) \(f\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right)=5\text{e}^{-\frac{6}{5}}\)  et \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0\) .
  \(f\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right) \approx 1{,}51\)  donc \(1 \in \left]\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)\ ;\ f\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right)\right]\) .
  D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=1\)  admet une unique solution sur  \(\left[\dfrac{6}{5}\ ;+\infty\right[\) .
  

Conclusion : sur \([0\ ;+\infty[\) , l'équation \(f(x)=1\)  admet deux solutions.